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高中數學必修二《直線的交點坐標與距離公式》教案

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高中數學必修二《直線的交點坐標與距離公式》教學設計

教學背景:

解析幾何第一章主要研究的是點線、線線的位置關系和度量關系,其中以點點距離、點線距離、線線位置關系為重點,點到直線的距離是其中最重要的環節之一,它是解決其它解析幾何問題的基礎。

教學目標:

知識目標:讓學生掌握點到直線距離公式的推導方法并能利用公式求點線距離。

能力目標:通過讓學生在實踐中探索、觀察、反思、總結,發現問題,解決問題,從而達到培養學生的自學能力,思維能力,應用能力和創新能力的目的。

情感目標:培養學生勇于探索、善于研究的精神,挖掘其非智力因素資源,培養其良好的數學學習品質。

重點難點:

教學重點:公式的推導與應用。

教學難點:知識教學方面:如何啟發學生自己構思出距離公式的推導方案。

情感教育方面:如何營造課堂積極求解的氛圍。以激發學生的創造力。增強學生知難而進的決心。

教學過程:

一、創設情境,引入問題

問題1 直線方程的一般式是怎么樣的,其中的系數有什么要求?

(學生回答)Ax+By+C=0 (AB不同時為0)(板書)

問題2 兩點AB間的距離公式是什么?

(學生回答)PQ=

2

1

2

2

1

2

)

(

)y

y

x

x-

+

-

問題3 當直線AB垂直y軸或x軸時,公式又成什么樣子的?(動畫)

(學生回答)AB=|x

2-x

1

||y

2

-y

1

|

問題4 B在直線Ax+By+C=0,A在直線外,則什么時候它們最近?

(學生回答)當直線AB與直線Ax+By+C=0垂直時。(動畫)

這時AB就是點A到直線Ax+By+C=0的距離,它會等于什么呢?這就是現在我們要研究的問題。(板書課題)

二、課題解決

研究一般性的問題往往從研究特殊情形入手。

問題1 如何求點P(3,5)到直線Ly=2的距離?(作圖)

問題2 變為求點P(3,5)到直線Lx=2/3的距離?如何求?

學生思考一會兒,教師再引導學生同理來求,并歸納:己知Px

0,y

),當直線平行x

軸時,為d=|y

0-y

1

|;當直線平行y軸時,為d=|x

-x

1

|。(板書)

問題3 那么一般情況下,己知Px0,y0)與直線LAx+By+C=0,你們想到用什么方案

解決這個問題呢?

學生容易得到:先求過點P且垂直L的直線;再求兩直線交點Q的坐標;最后用兩點間的距離公式求|PQ|。教師簡要板書步驟,并讓學生體會這種方法繁簡程度?

教師指出,我們還要尋找其它的簡便的方法。

我們用一個特殊點(00)來代Px

0,y

)來思考一下,有沒有其它的好方法。

問題4 若直線交兩坐標分別于MN兩點,則有什么關系式存在?

學生得到:|OM||ON|=|MN||OQ|

教師:哪些可以求出來?

|OM||ON||MN|,從而算出|OQ|

教師可舉具體的直線讓學生運算,體會過程。如果學生想到其他辦法,教師充分肯定。

(移到一般點處)(動畫)如何求點Px0y0)到直線Ax+By+C=0的距離呢?能否從特殊問題的解決中受到一些啟發呢?

教師讓想到的學生回答,過點Px軸、y軸的平行線。

教師通過幾何畫板添加相關線。

|PM||PN|=|MN||PQ|

得到|PQ|=|PM||PN|/|MN|

學生口述,教師板演得到公式。

問題5 這個公式使用的條件是什么?

問題6 這個公式怎么記?

讓學生分析,并觀察歸納公式的特征。

師:點P坐標帶入分子可能為0嗎?

學生分析:可能,此時點在直線上。

師:從形式上看公式——下面根式好象樓梯,因此可說成登上樓梯關上門

問題6 這個公式有什么限制條件嗎?

學生反思:沒有,對任意點和任意直線都成立。

教師將特殊直線和特殊點說一下,將特殊情況與一般情況進行統一。

歸納:點Px

0,y

)到直線Ax+By+C=0的距離為d=

2

2

B

A

C

By

Ax

+

+

+

三、公式應用,簡單模仿

例:求點P-12)到下列直線的距離:

12x+y-10=0;

23x=2.

教師板演,指出解題規范及注意點。

做以下的練習,直線與坐標軸平行時的應用。

1. A(-3,2)到直線L:y=-3的距離為______.

2. P(-1,2)到直線L:3x=2的距離為______.

3. P(5,-4)到兩坐標軸的距離和為______.

4. 直線x=-1與直線x=7間的距離是_______.

以上的題目可學生口答,教師簡要分析。

1)在什么條件下,用什么公式?

己知Px

0,y

),當直線平行x軸時,為d=|y

-y

1

|;當直線平行y軸時,為d=|x

-x

1

|

2)第4題中可取怎樣的兩點?與x軸的兩個交點。

活用公式,理解本質

5. 求點P(-1,2)到直線L:x/5+y/10=1的距離。

6.已知點(a, 6)到直線 4x-3y-3=0的距離為28/5,求a的值。

7. 已知點A(1,0)到直線x/m+y=1的距離為1/2,求m的值。

8.求過原點且與點(-2,5)的距離為2的直線方程。

學生上來板書,教師再叫其它同學來評價。

注:一般式中AB化整;求其它未知量;要注意數形結合,特別是第8題,要注意有兩條直線。

四、小結內容,形成體系

問:我們學了幾種推導點線距離的方法?

問:哪幾種求點線距離的方式?①|坐標差|②距離公式.

要注意我們在研究一般性問題時可以先從特殊問題入手,從特殊問題的解決過程中得到啟發,這也是我們這節課的一個重要收獲。

師:思考新的問題——兩平行直線間的距離公式是什么?怎么求?

五、作業:

1.課本第97頁第679

2.思考題:你還能想出推導距離公式的其它方法嗎?請課后討論。

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