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高中數學必修一《幾類不用增長的函數模型》精品教案

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高中數學必修一《幾類不用增長的函數模型教學設計

學習目標

1. 結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的函數模型意義,理解它們的增長差異;

2. 借助信息技術,利用函數圖象及數據表格,比較指數函數、對數函數以及冪函數的增長差異;

3. 恰當運用函數的三種表示法(解析式、圖象、列表)并借助信息技術解決一些實際問題.

課前準備(預習教材P95~ P98,找出疑惑之處)

閱讀:澳大利亞兔子數爆炸

有一大群喝水、嬉戲的兔子,但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋.1859年,有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且沒有兔子的天敵,兔子數量不斷增加,不到100年,兔子們占領了整個澳大利亞,數量達到75億只.可愛的兔子變得可惡起來,75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞頭痛不已,他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十世紀五十年代,科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔,澳大利亞人才算松了一口氣.

典型例題

1假設你有一筆資金用于投資,現有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:

方案一:每天回報40元;

方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元;

方案三:第一天回報0 .4元,以后每天的回報比前一天翻一番.

請問,你會選擇哪種投資方案?

反思:① 在本例中涉及哪些數量關系?如何用函數描述這些數量關系?

② 根據此例的數據,你對三種方案分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識?借助計算器或計算機作出函數圖象,并通過圖象描述一下三種方案的特點.

2某公司為了實現1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金 (單位:萬元)隨銷售利潤 (單位:萬元)的增加而增加但獎金不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型:

; ; .

問:其中哪個模型能符合公司的要求?

反思:

① 此例涉及了哪幾類函數模型?本例實質如何?

② 根據問題中的數據,如何判定所給的獎勵模型是否符合公司要求?

1. 如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質的剩留量y與凈化時間t(月)的近似函數關系: (t0,a0且a1).有以下敘述

① 第4個月時,剩留量就會低于 ;

② 每月減少的有害物質量都相等;

③ 若剩留量為 所經過的時間分別是 ,則 .

其中所有正確的敘述是 .

2. 經市場調查分析知,某地明年從年初開始的前 個月,對某種商品需求總量 (萬件)近似地滿足關系 .

寫出明年第 個月這種商品需求量 (萬件)與月份 的函數關系式.

課堂小結

1. 兩類實際問題:投資回報、設計獎勵方案;2. 幾種函數模型:一次函數、對數函數、指數函數;3. 應用建模(函數模型);

知識拓展

解決應用題的一般程序:

① 審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系;

② 建模:將文字語言轉化為數學語言,利用數學知識,建立相應的數學模型;

③ 解模:求解數學模型,得出數學結論;

④ 還原:將用數學知識和方法得出的結論,還原為實際問題的意義.

學習評價

1. 某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,4個分裂成8個,現有2個這樣的細胞,分裂x次后得到的細胞個數y為( ).

A. B. y=2 C. y=2 D. y=2x

2. 某公司為了適應市場需求對產品結構做了重大調整,調整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系,可選用( ).

A. 一次函數 B. 二次函數

C. 指數型函數 D. 對數型函數

3. 一等腰三角形的周長是20,底邊長y是關于腰長x的函數,它的解析式為( ).

A. y=20-2x (x10) B. y=20-2x (x10) C. y=20-2x (510) D. y=20-2x(5

4. 某新品電視投放市場后第1個月銷售100臺,第2個月銷售200臺,第3個月銷售400臺,第4個月銷售790臺,則銷量y與投放市場的月數x之間的關系可寫成 .

5. 某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的,如果某臺計算機感染上這種病毒,那么每輪病毒發作時,這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機. 現在10臺計算機在第1輪病毒發作時被感染,問在第5輪病毒發作時可能有 臺計算機被感染. (用式子表示)

課后作業

1. 某服裝個體戶在進一批服裝時,進價已按原價打了七五折,他打算對該服裝定一新價標在價目卡上,并注明按該價20%銷售. 這樣,仍可獲得25%的純利. 求此個體戶給這批服裝定的新標價與原標價之間的函數關系.

2. 某書店對學生實行促銷優惠購書活動,規定一次所購書的定價總額:①如不超過20元,則不予優惠;②如超過20元但不超過50元,則按實價給予9折優惠;③如超過50元,其中少于50元包括50元的部分按②給予優惠,超過50元的部分給予8折優惠.

(1)試求一次購書的實際付款y元與所購書的定價總額x元的函數關系;

(2)現在一學生兩次去購書,分別付款16.8元和42.3元,若他一次購買同樣的書,則應付款多少?比原來分兩次購書優惠多少?

3.2.1幾類不同增長的函數模型(2)

學習目標

1. 結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的函數模型意義,理解它們的增長差異;

2. 借助信息技術,利用函數圖象及數據表格,比較指數函數、對數函數以及冪函數的增長差異;

3. 恰當運用函數的三種表示法(解析式、圖象、列表)并借助信息技術解決一些實際問題.

舊知提示 (預習教材P98~ P101,找出疑惑之處)

復習1:用石板圍一個面積為200平方米的矩形場地,一邊利用舊墻,則靠舊墻的一邊長為___________米時,才能使所有石料的最省.

復習2:三個變量 隨自變量 的變化情況如下表:

1 3 5 7 9 11

y1 5 135 625 1715 3645 6633

y2 5 29 245 2189 19685 177149

y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40

其中 呈對數型函數變化的變量是________,呈指數型函數變化的變量是________,呈冪函數型變化的變量是________.

合作探究

探究:冪、指、對函數的增長差異

問題:冪函數 、指數函數 、對數函數 在區間 上的單調性如何?增長有差異嗎?

實驗:函數 ,試計算:

1 2 3 4 5 6 7 8

y1

y2

y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3

由表中的數據,你能得到什么結論?

思考: 大小關系是如何的?增長差異?

結論:在區間 上,盡管 都是增函數,但它們的增長速度不同,而且不在同一個檔次上,隨著x的增大, 的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于 的增長速度.而 的增長速度則越來越慢.因此,總會存在一個 ,當 時,就有 .

典型例題

1某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品的數量分別為1萬件,1.2萬件,1.3萬件,為了估計以后每個月的產量,以這三個月的產品數量為依據用一個函數模擬該產品的月產量 與月份的 關系,模擬函數可以選用二次函數或函數 . 已知4月份該產品的產量為1.37萬件,請問用以上哪個函數作為模擬函數較好,并說明理由.

小結:待定系數法求解函數模型;優選模型.

1. 為了預防流感,某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒. 已知藥物釋放過程中,室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數關系式為 (a為常數),如圖所示,根據圖中提供的信息,回答下列問題:

(1)從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為 .

(2)據測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室,那從藥物釋放開始,至少需要經過 小時后,學生才能回到教室.

2. 某商場購進一批單價為6元的日用品,銷售一段時間后,為了獲得更多利潤,商場決定提高銷售價格. 經試驗發現,若按每件20元的價格銷售時,每月能賣360件,若按25元的價格銷售時,每月能賣210件,假定每月銷售件數y(件)是價格x(元/件)的一次函數.

(1)試求y與x之間的關系式;

(2)在商品不積壓,且不考慮其它因素的條件下,問銷售價格定為多少時,才能時每月獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?

課堂小結

直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數模型的增長的含義.

知識拓展

在科學試驗、工程設計、生產工藝和各類規劃、決策與管理等許多工作中,常常要制訂最優化方案,優選學是研究如何迅速地、合理地尋求這些方案的科學理論、模型與方法. 它被廣泛應用于管理、生產、科技和經濟領域中,幾乎可以用于凡是有數值加工的每個領域. 中國數學家華羅庚在推廣優選方法的理論研究和開發研究工作中付出巨大貢獻.

學習評價

1. 某工廠簽訂了供貨合同后組織工人生產某貨物,生產了一段時間后,由于訂貨商想再多訂一些,但供貨時間不變,該工廠便組織工人加班生產,能反映該工廠生產的貨物數量y與時間x的函數圖象大致是( ).

2. 下列函數中隨 增大而增大速度最快的是( ).

A. B. C. D.

3. 根據三個函數 給出以下命題:

(1) 在其定義域上都是增函數;

(2) 的增長速度始終不變;(3) 的增長速度越來越快;

(4) 的增長速度越來越快;(5) 的增長速度越來越慢。

其中正確的命題個數為( ).

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 當 的大小關系是 .

5. 某廠生產中所需一些配件可以外購,也可以自己生產,如外購,每個價格是1.10元;如果自己生產,則每月的固定成本將增加800元,并且生產每個配件的材料和勞力需0.60元,則決定此配件外購或自產的轉折點是____件(即生產多少件以上自產合算)

課外作業

1. 下列函數關系中,可以看著是指數型函數 ( 模型的是( ).

A.豎直向上發射的信號彈,從發射到落回地面,信號彈的高度與時間的關系(不計空氣阻力)

B.我國人口年自然增長率為1﹪,這樣我國人口總數隨年份的變化關系

C.如果某人ts內騎車行進了1km,那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數關系

D.信件的郵資與其重量間的函數關系

2. 用長度為24的材料圍一個矩形場地,中間且有兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為( ).

A.3 B.4 C.6 D.12

3. 已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y=a(0.5)x+b,現已知該廠今年1月、2月生產該產品分別為1萬件、1.5萬件.則此廠3月份該產品的產量為_________.

4. 某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每個定價20元,茶杯每個定價為5元,該店推出兩種優惠辦法:

(1)買一個茶壺贈送一個茶杯;

(2)按總價的92%付款.

某顧客需購茶壺4個,茶杯若干(不少于4個),若需茶杯 個,付款數為y(元),試分別建立兩種優惠辦法中y與 的函數關系,并討論顧客選擇哪種優惠方法更合算.

相關標簽: 幾類
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